لعبة عدّ النقاط

مقدمة

لعبة عد النقاط هي لعبة تهدف إلى تقديم نظم الأعداد و بالذات النظام الثنائي إلى المتدرب بشكل بسيط و بدون الحاجة إلى استخدام الحاسوب

الأهداف

1. فهم النظام الثنائي في تمثيل الأعداد و القدرة على استخدامه لتمثيل الأعداد الصحيحة
2. القدرة على التحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري
3. فهم أساسيات نظم الأرقام العربية

مهارات و معارف الطلاب اللازمة للاستفادة من الجلسة

• العد
• المقارنة و المطابقة
• الترتيب بشكل متسلسل

الفئة العمرية

تسع سنوات فأكثر

المساعدات المطلوبة

• عدد من مجموعات البطاقات يماثل نصف عدد المتدربين، كل مجموعة تتكون من خمس بطاقات. كل بطاقة مكتوب على أحد وجهيها رقم منزلة ابتداء من صفر، و رسم لمجموعة من النقاط تساوي قيمة المنزلة، و وجهها الآخر فارغ (كما هو موضّح في النموذج)
• مساحة كافية لوضع الأوراق مرتبة بشكل مسلسل
• ورقة عمل تحتوي على جدول من عمودين، بعض خانات العمود الأيمن تحوي أعدادا بالنظام العشري لا تزيد على 31، و بعض خانات العمود الأيسر تحوي أعدادا بالنظام الثنائي لا تزيد على سبع منازل بحيث لا تتقابل أي منها في صفّ واحد

شرح اللعبة

تقوم هذه اللعبة بتقديم النظام الثنائي إلى الطلاب بشكل عملي بدون التعرض للأسس الرياضية لهذا النظام، ثم تنتقل بالتدريج لشرح هذه الأسس بشكل مبسط و تستخدمها لعرض مفاهيم نظم الأرقام العربية.

تبدأ اللعبة بتوزيع الطلاب على مجموعات، تتكون كل منها من طالبين أو ثلاثة على الأكثر. توزع مجموعات البطاقات على الطلاب بحيث تحصل كل مجموعة من الطلاب على مجموعة واحدة من البطاقات. تمثل كل مجموعة بطاقات أول خمس منازل طبقا للنظام الثنائي. تحمل كل بطاقة رقم يمثل منزلة الخانة التي تناظر البطاقة و عدد من النقاط يكافئ قيمة هذه المنزلة. لتنفيذ اللعبة، يطلب من الطالب ترتيب البطاقات طبقا لقواعد المنازل في نظم الأرقام العربية ثم تستخدم لتمكين الطالب من التحويل من النظام العشري إلى النظام الثنائي و بالعكس دون الحاجة لشرح الأسس الرياضية. بعد أن يكّون الطلاب فكرة عن عملية التحويل هذه، تختتم اللعبة بشرح الأسس الرياضية للنظام الثنائي وبعض خواص نظم الأعداد العربية بشكل عام.

تتعرض اللعبة للخواص التالية من خواص نظم الأعداد:

1. يمكن تمثيل أي عدد بأي نظام من نظم الأرقام العربية (النظام الثنائي في حالة اللعبة)
2. لا يوجد إلا تمثيل واحد لأي عدد باستخدام أي نظام من نظم الأرقام العربية
3. نحتاج إلى عدد من رموز بعدد أساس أي نظام لاستخدامه في تمثيل الأعداد (رمزين للنظام الثنائي و ثلاثة للنظام الثلاثي، إلخ...) بحيث يكون لكل رمز قيمة تبدأ من الصفر و حتى أقل من الأساس بواحد
4. لا يوجد قيود على الرموز المستخدمة لتمثيل الأعداد، و لكن درج الناس على استخدام الأرقام العربية و يليها الحروف الإنجليزية (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, f, e, d, c, b, a, إلخ...)

الخطوات

1. يرسم الميسر جدولا من سبعة أعمدة، على رأس أول عمود من اليمين تُكتب كلمة "العدد" و على رأس العمود التالي من اليمين يكتب الرقم "صفر" و الذي يليه الرقم "1" و تباعا حتى الرقم"5". ( قد يكون هذا الجدول مرسوم سلفا، أو مطبوع على ورقة A1 )، و يجب تقسيم الجدول أفقيا إلى عدد كاف من الخانات (8 أو 9 خانات)
2. يوزع الميسر مجموعات البطاقات على الطلاب و يطلب منهم ترتيبها تصاعديا من اليمين إلى اليسار بناء على الرقم المكتوب على كل بطاقة، ثم قلبها بحيث يكون الوجه الفارغ إلى أعلى.
3. يختار الميسر عددا أقل من 31 (يفضل أن يكون عددا لا يتطلب تمثيله أكثر من 3 منازل بالنظام الثنائي) و يكتبه في خانة من خانات عمود "العدد" في الجدول و يطلب من الطلاب قلب بطاقات مما لديهم بحيث يكون مجموع النقاط الظاهرة على البطاقات مساويا لقيمة العدد المكتوب، و إبقاء البطاقات الأخرى مقلوبة في مكانها.
4. يطلب الميسر من أحد الطلاب إبلاغه بالأرقام المكتوبة على البطاقات التي أظهروها.
5. يسأل الميسر الطلاب إن كان أحدهم قد أظهر بطاقات مختلفة، و ذلك للتأكد من أن كل الطلاب قد اختاروا البطاقات الصحيحة.
6. بعد التأكد من أن كل الطلاب قد اختاروا البطاقات الصحيحة، يؤكد الميسر أنه لا توجد إلا توليفة واحدة من البطاقات يمكن بها تمثيل قيمة هذا العدد.
7. في نفس صف العدد، يضع الميسر علامة "صح" في كل عمود يحمل رقما من أرقام البطاقات التي اختارها المتدرّبون (أو أي رمز يختاره الميسر) و يضع علامة "خطأ" في الأعمدة التي تحمل أرقام البطاقات التي لم يشملها الاختيار (أو رمز أخر مختلف عن الرمز الأول).
8. يسأل الميسر عن كيفية اختيار الطلاب للبطاقات اللازمة ليحصلوا على عدد النقاط المطلوب و يوضح أن اختيار البطاقات يمكن أن يتم بالطريقة الأتية:
   1. اختيار البطاقة التي تحمل أكبر عدد من النقاط بحيث يكون عدد النقاط على البطاقة المختارة أقل من أو يساوي العدد المطلوب (و في نفس الوقت أكبر من نصف هذا العدد نفسه)
   2. حساب عدد النقاط المتبقية للوصول لعدد النقاط المطلوب، و ذلك عن طريق خصم عدد النقاط على البطاقة المختارة من العدد الكلي المطلوب
   3. اختيار بطاقة من البطاقات التي تحمل عدد نقاط أقل من البطاقة السابقة بحيث يكون عدد النقاط عليها هو أكبر عدد من النقاط على أي من هذه البطاقات و في نفس الوقت يكون أقل من أو يساوي عدد النقاط اللازمة لتكملة عدد النقاط إلى العدد المطلوب، و ذلك بناء على ما تم حسابه في الخطوة السابقة.
   4. حساب عدد النقاط المتبقية للوصول لعدد النقاط المطلوب، و ذلك عن طريق خصم مجموع عدد النقاط على كل البطاقات المختارة من العدد الكلي المطلوب.
   5. اختيار بطاقة من البطاقات التي تحمل عدد نقاط أقل من البطاقة السابقة بحيث يكون عدد النقاط عليها هو أكبر عدد من النقاط على أي من هذه البطاقات و في نفس الوقت يكون أقل من أو يساوي عدد النقاط اللازمة لتكملة عدد النقاط إلى العدد المطلوب بناء على ما تم حسابه في الخطوة السابقة.
   6. تكرار الخطوتين السابقتين حتى الوصول إلى العدد المطلوب.
9. يكرر الميسر تمرين إيجاد البطاقات المكافئة لعدد معين و تسجيل البطاقات الصحيحة في الجدول المعلق مرتين أو ثلاثة مرات مع أعداد مختلفة، مع التأكيد كل مرة على أنه لا توجد غير توليفة واحدة من البطاقات تمثل هذا العدد.
10. يسأل الميسر عن أقل و أكبر عدد يمكن تمثيلهم باستخدام البطاقات المتاحة لكل منهم، و يتفاعل مع ردود الطلاب و إذا لزم الأمر يوجههم لكيفية الوصول إلى الإجابة الصحيحة (صفر إذا كانت كل الأوراق مقلوبة و 31 إذا كانت كل الأوراق مكشوفة)
11. يسأل الميسر إذا كان من الممكن تمثيل جميع الأعداد من صفر إلى 31 باستخدام البطاقات الخمسة، و يترك برهة من الوقت للتفكير.
12. يقول الميسر للطلاب أنه يدعي أن جميع الأعداد من صفر إلى 31 يمكن تمثيلها و يتحدي الطلاب في أن يأتوا بأعداد بين صفر و 31 لا يمكن تمثيلها، إن استطاعوا.
13. يبرهن الميسر أن كل الأعداد ممكن تمثيلها عن طريق تمثيل عددين أو ثلاثة مما اقترحه الطلاب، ثم يؤكد للطلاب أننا نستطيع تمثيل عدد جميع الأعداد من صفر إلى 31 باستخدام هذه البطاقات.
14. يطلب الميسر من الطلاب قلب البطاقات بحيث يكون الوجه الذي يحتوي على النقاط و أرقام البطاقات لأعلى مع الاحتفاظ بترتيب البطاقات أمامهم بحيث تظل مرتبة تصاعديا من اليمين إلى اليسار حسب رقم كل بطاقة.
15. يطلب الميسر من الطلاب استنتاج العلاقة بين عدد النقاط على البطاقات المختلفة، و إذا لزم الأمر يوجههم إلى كيفية الوصول للإجابة الصحيحة (كل بطاقة عليها ضعف عدد النقاط الموجودة على البطاقة التي على يمينها)
16. يسأل الميسر الطلاب عن كيفية تمثيل عدد أكبر من 31 و أصغر من 63 (49 على سبيل المثال) باستخدام البطاقات التي بحوزتهم، و عند إدراكهم استحالة ذلك، يسألهم عن ما هو التعديل المطلوب لمجموعة البطاقات حتى يمكن استخدامها في تمثيل العدد المطلوب، و يوجههم نحو الاستفادة مما توصلوا إليه في الخطوة السابقة.
17. يوضح الميسر أن في استطاعتنا تمثيل أعداد أكبر فأكبر عن طريق إضافة بطاقات جديدة إلى اليسار تحمل كل منها ضعف عدد نقاط البطاقة التي تسبقها إلى اليمين.
18. يسأل الميسر إذا كان هناك من يستطيع أن يحسب عدد النقاط على البطاقة العاشرة و يستمع إلى إجابات الطلاب و يسألهم عن كيفية حسابهم لهذا العدد.
19. يوضح الميسر أننا نستطيع أن نحسب مباشرة عدد النقاط على أي بطاقة نحتاج إلى إضافتها عن طريق رفع العدد اثنان لأس رقم البطاقة و دون الحاجة لحساب عدد النقاط على البطاقات على يمين هذه البطاقة، مع ملاحظة أن أرقام البطاقات تبدأ من صفر.
20. يوضح الميسر أننا نطلق على رقم البطاقة اسم "منزلة" البطاقة و نطلق على عدد النقاط المرسومة على البطاقة اسم "قيمة المنزلة". ( قيمة المنزلة الثامنة هي 2 أس 8 = 256 و هو عدد النقاط على البطاقة التي تحمل الرقم ثمانية و الموجودة في الخانة التاسعة من اليمين).
21. يضع الميسر في الجدول على السبورة علامات "صح" و "خطأ" في منازل ثنائية لتمثيل عدد يختاره عشوائيا و يطلب من الطلاب معرفة العدد الممثل، بعد مرتين من هذا المنوال يوضح الميسر أنه سيستخدم علامتي 1 و 0 بدلا من "صح" و "خطأ" في الجدول و يواصل التمرين لبضع مرات أخرى، مع ملاحظة استخدام خانة المنزلة الخامسة و التي لا يوجد لها بطاقة مناظرة.
22. يسأل الميسر إذا كنا ما زلنا في حاجة إلى البطاقات لتحديد عدد النقاط المكافئ لأي توليفة من علامات "1" و "0".
23. يوضح الميسر أننا لا نحتاج البطاقات، و أننا نستطيع أن نحدد عدد النقاط المكافئ لأي توليفة (عدد) عن طريق تحديد منازل البطاقات التي نحتاج إلى كشفها و ذلك عن طريق العد تصاعدياً من أقصى اليمين بدأً بالرقم صفر ثم استخدام القاعدة التي عرضناها سلفا لتحديد عدد النقاط الموجودة على كل بطاقة بناء على منزلتها.
24. يعطي الميسر مثال لحساب عدد النقاط المكافئ لعدد ثنائي عن طريق اختيار عدد ثنائي بشكل عشوائي و كتابته على اللوحة ثم كتابة منزلة كل رقم أعلاه و حساب قيمة كل منزلة و كتابتها اسفل الرقم، ثم يقوم الميسر بضرب قيمة كل رقم في قيمة المنزلة المكافئة و جمع نتائج عمليات الضرب للوصول للعدد المطلوب.
25. يطلب الميسر من الطلاب استكمال الخانات الفارغة في ورقة العمل و يساعدهم في ذلك ثم يكتب الإجابات الصحيحة على اللوحة و يطلب من الطلاب مقارنة هذه الإجابات بما توصلوا إليه.
26. يوضح الميسر أن هذه الطريقة في تمثيل الأرقام عن طريق خانات (منازل) تحمل كل منها قيمة تساوي ضعف قيمة المنزلة الواقعة إلي يمينها تسمى النظام الثنائي في تمثيل الأعداد، و أننا في هذا النظام نستخدم رمزين (رقمين) مختلفين لتمثيل الأعداد، أولهما يشير إلى تضمين المنزلة في حساب العدد و الأخر يشير إلى استبعاد هذه المنزلة. و يشير الميسر إلى أننا استخدمنا الرمزين "صح" و "خطأ" في البداية ثم استبدلناهما بالرمزين "1" و "0" و أننا نستطيع أن نستخدم أي رموز أخرى متى أردنا ما دمنا قد حددنا معنى (قيمة) كل رمز.
27. يوضح الميسر أن الدارج هو استخدام الرمزين "1" و "0" لتمثيل الأرقام في النظام الثنائي.
28. يوضح الميسر أننا تعرضنا من خلال اللعبة للعديد من خصائص النظام الثنائي في تمثيل الأعداد و أهم هذه الخصائص هي:
    • يمكن تمثيل أي عدد باستخدام النظام الثنائي (وقد تعرضنا لهذه الخاصية عندما تأكدنا أن جميع الأعداد من صفر إلى 31 يمكن تمثيلها باستخدام خمس خانات بالنظام الثنائي و أننا نستطيع تمثيل أعداد أكبر عن طريق إضافة خانات جديدة إلى يسار الخانات الموجودة).
    • لا يوجد إلا تمثيل واحد بالنظام الثنائي لأي عدد (وقد تعرضنا لهذه الخاصية عندما تأكدنا أننا لا نستطيع أن نجد إلا توليفة واحدة من البطاقات لتمثيل أي عدد).
    • قيمة أي منزلة في النظام الثنائي هي ضعف قيمة المنزلة التي تسبقها إلى اليمين.
    • يمكن حساب قيمة أي منزلة عن طريق رفع العدد اثنان لأس منزلة الخانة.
    • يتم حساب قيمة العدد عن طريق جمع مضروب قيمة الرقم في قيمة المنزلة لكل خانات العدد.
29. يطلب الميسر من الطلاب العد تصاعديا باستخدام البطاقات و ملاحظة كيفية تبديل حالة كل بطاقة ما بين الانكشاف و الانقلاب>
30. يختم الميسر اللعبة بتلخيص ما تم تناوله من خلال اللعبة و هو:
    1. بعض خواص نظم الأرقام العربية (وجود تمثيل واحد لكل عدد في كل نظام أرقام، إمكانية تمثيل أي عدد باستخدام أي نظام أرقام، إلخ...)
    2. العلاقة بين كل منزلة و قيمتها و بين قيم المنازل المختلفة في النظام الثنائي
    3. كيفية تمثيل الأعداد باستخدام النظام الثنائي
    4. كيفية التحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري (معرفة العدد المكافئ لتوليفة من الأرقام تستخدم النظام الثنائي)

قراءات و تدريبات إضافية

1. البحث عن طريقة تحويل الأعداد من النظام العشري إلى النظام الثنائي بدون استخدام البطاقات
2. يطلب الميسر من الطلاب ملء الخانات الفارغة في أوراق العمل بعد توزيعها عليهم.